#02 극한에 대하여(하)

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안녕하세요. 두번째 내용인 극한에 대하여(하)입니다.

이번에는 평균변화율과 순간변화율 그리고 도함수에 대해서 알아보고 본격적이 미적분을 진행하도록 하겠습니다.

먼저 변화의 개념을 얘기하자면, 그게 언제든 언제까지든 바뀐다는 겁니다.

나무가 시간에 흘러감에 따라 얼마나 땅과 수직선상으로 자라는지 그래프를 만들 수도 있겠죠?

그 그래프를 봤을 때 전체적인 변화를 알 수 있는 것입니다.

결국 변화는 그래프에서 기울기입니다.

 

[1] 평균변화율

 

                       

 

평균변화율이란 어디 영역의 평균 기울기라는 것입니다. 영역이 중요한 것이죠.

위 그래프를 예시로 x가 0에서 1까지 평균변화율을 구한다고 가정하면

곡선이 없는 녹색선이 평균 변화율입니다.

그럼 시작점과 끝점을 잇는다 생각을 해보겠습니다.

 진한 빨간선처럼 세로의 차이값(변화량) 가로의 차이값(변화량)을 구한 다음

 세로가 분자 가로가 분모로 두고 계산하면 영역의 평균 기울기가 나옵니다.

평균변화율   어디를 기준으로 빼는 지는 상관없다. 분자 분모 순서만 맞으면 된다.

 

 

[2] 순간변화율

                        

 

그렇다면 순간변화율은 따로 영역이 있을까요? 이름 그대로 순간이기 때문에 영역을 지정하지 않을까요?

아닙니다. 결국 변화하는 것을 보려면 영역이 필요합니다.

대신 순간이라는 느낌이 최대한 들도록 아주 아주 수학적으로 줄 수 있는 바로 코 앞까지의 변화율을 본다는 것이죠.

그럼 이 순간을 어떻게 수학적으로 생각할까요?

바로 극한을 사용하는 것입니다.

어디서 어디까지인 평균변화율을 그대로 시작점이든 끝점이든 반대편까지 극한으로 구하는 것입니다.

그럼 이 기울기가 극한으로 가는 것이고, 그게 곧 순간변화율이 됩니다.

결국 반대편 점까지 극한으로 간 기울기이기에 접하는 선의 기울기, 기울기의 극한 값 등으로 부릅니다.

순간변화율 순간변화율이란 a = x에서 접선의 기울기, 순간변화율, 미분계수, 도함수이다.

 

[3] 도함수

평균변화율이나 순간변화율에서는 늘 영역을 설명했습니다.

특정 영역에 대한 기울기를 구하는 것이 [1],[2]의 설명이였다면

모든 점에서 접선의 기울기를 구하는 것이 도함수입니다.

순간변화율도 도함수 중에 하나는 맞습니다만 설명을 조금 다르게 해보겠습니다.

모든 점의 접선의 기울기를 구하기로 했으니 어떤 점과의 차이가 매우작아야하는데 변화율이 작은 것이 아니고

말 그대로 어떤 점 x 와의 매우 작은 차이가 나는 점에서의 순간변화율을 구하는 것이 도함수입니다.

그럼 수학적으로 표현해서 x와 매우 작은 차이가 나는 점을 h라고 했을 때로 아래에서 정리하겠습니다.

 

도함수   h는 매우 작은 수여야 하기에 0으로 수렴하는 극한을 두고 분모인 -x와 x를 상쇄시켜 정리하면   이 복작한 식을  이렇게 f(x)에 ' (프라임)을 붙여서 표기   그래서 미분이란 미분계수를 구하는 것이기도 하고 순간변화율을 구하는 것이기도 하고 도함수를 푸는 것이다.

 

끝